Топ-100
МАСШТАБ КАРТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И ПРЕВЫШЕНИЙ ПО КАРТЕ.
РАЗБОР ЗАДАЧ НА МАСШТАБ И ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЯ
Масштаб сопоставляет размеры на изображении (карте, чертеже и т.д.) или объёмной модели с реальными размерами объекта. В общем случае масштаб может показывать во сколько раз уменьшены или увеличены размеры изображаемого (смоделированного) объекта.

Масштаб карты показывает во сколько раз уменьшены длины линий на карте относительно длин этих линий на местности.

Следует учесть, что карта на листе бумаги или экране компьютера плоская, а Земля имеет приближенно эллипсоидальную форму и к тому же ее поверхность обладает рельефом.

На крупномасштабных картах и планах, подробно изображающих небольшие участки земной поверхности (например, на картах городов или областей) кривизну Земли учитывать не нужно, масштаб на таких картах точен и постоянен на всем изображении.
Длина линии на крупномасштабной карте определяет длину горизонтального проложения этой линии в реальности (без учёта перепада высот).

На мелкомасштабных картах (например, картах Мира) масштаб не постоянен и изменяется в различных местах изображения ввиду того, что при трансформации эллипсоидальной земной поверхности на плоский лист карты происходят искажения (различные растяжения и сжатия на разных участках изображения). Обычно на картах Мира при развертке на плоскость наиболее сильно искажаются формы и размеры объектов у полюсов.
Длина линии на мелкомасштабной карте определяет длину горизонтальной проекции этой линии в реальности на поверхность земного эллипсоида (по дуге по поверхности земного эллипсоида, но без учета рельефа).

Масштаб для электронных трехмерных моделей рельефа местности или стендов с рельефными картами задается как по горизонтали, так и по вертикали. Вертикальный масштаб для наглядности и удобства изучения рельефа увеличивают в сравнении с горизонтальным.

Виды масштаба:

Численный масштаб
1:100000
Дробь, определяющая отношение длин на карте к длинам на местности.
Перевести в именованный можно подставив одинаковые единицы измерения в числитель и знаменатель (сантиметры)
1:100000,
т.е. в 1 см 100000 см,
или (зачеркиваем два нуля 1:1000
00)
в 1 см 1000 м
или (зачеркиваем пять нулей 1:1
00000)
в 1 см 1 км

Именованный масштаб
в 1 см 1 км
Сопоставляет длину линии на карте и местности.
Перевести в численный можно приведя обе части в одну размерность (сантиметры)
в 1 см 1 км,
1 км = 1000 м = 100000 см, следовательно
в 1 см 100000 см,
1:100000

Графический линейный масштаб
Наглядно задает соотношение длин на карте и местности.

Не теряет смысла, например, при сканировании или копировании карты с уменьшением или увеличением, относительно исходного экземпляра.

Графический поперечный масштаб
Линейный масштаб, дополненный разграфкой для удобных измерений на карте с помощью циркуля-измерителя.

На образце между красными точками отложено расстояние = 2,57.
Определение расстояний и превышений по бумажной карте.
Определение расстояния.
Для определения горизонтального расстояния по обычной карте, следует измерить длину линии и пересчитать пропорционально масштабу. Прямую линию можно измерить линейкой или циркулем-измерителем, извилистую (например, при измерении длины дороги или реки) - курвиметром (прибором, который можно катать по карте, а "колесико" отчитывает сантиметры).
Пересчет измеренной длины ведется пропорционально масштабу:
например, измеренное расстояние 2,5 см, а масштаб карты 1:50000 (т.е. в 1 см - 500 метров), тогда
1 см = 500 м
2,5 см = x м
x = (2,5 см * 500 м) / 1 см = 1250 м (по свойству пропорции).

При определении расстояний по мелкомасштабной карте также можно опираться на следующие сведения:
длина дуги 1° экватора ≈ 111,3 км;
длина дуги 1° параллели ≈ 111,3 км * cos (угла широты параллели) - 15° ≈ 108 км, 30° ≈ 96 км, 45° ≈ 79 км, 60° ≈ 56 км, 75° ≈ 29 км;
длина дуги 1° меридиана ≈ 111,1 км.

Определение превышений.
Для определения превышений по крупномасштабной топографической карте следует воспользоваться горизонталями. Горизонтали - это изолинии, которые соединяют одинаковые уровни высот. Под масштабом указывают через сколько метров проведены сплошные горизонтали (например, через каждые 10 метров, т.е. на уровне 10м, 20м, 30 м и т.д.), иногда пунктиром проводят полугоризонтали между основными, каждую пятую горизонталь для улучшения восприятия утолщают, пики высот подписываются дополнительно. Подписи горизонталей принято размещать верхом текста в сторону повышения высот, а в сторону понижения склона размещают черточки, прикреплённые перпендикулярно горизонталям - бергштрихи, указывающие куда со склона потечет вода.
На примере пунктирной линии превышение между ее концами примерно 73 метра. Правый край чуть выше 210 м (≈212 м), левый чуть ниже 140 м (≈139 м).
При построении профиля следует учесть, что чем ближе (чаще) расположены горизонтали друг к другу, тем круче спуск.
На мелкомасштабных физических картах вместо горизонталей используют цветовую высотную шкалу - зелеными тонами низины, коричневыми - горы.

Определение длины линии в трехмерном пространстве.
Если расстояние по горизонтали между точками 400 метров, а разница высот между этими точками 300 метров, то длина линии в трехмерном пространстве между точками будет составлять 500 метров (подсчёт аналогичен вычислению гипотенузы по теореме Пифагора).

Вести пересчёт имеет смысл только при построении маршрута в горном рельефе с резкими перепадами высот. При достаточно плоском равнинном рельефе или при измерениях по мелкомасштабным картам длина линии в трехмерном пространстве практически не будет отличаться от горизонтального расстояния, учитывать перепад высот в таких случаях не имеет смысла.
На заданиях ОГЭ/ЕГЭ и в школьных задачах под определением расстояния по прямой подразумевается расстояние по горизонтали, учитывать, что точки могут находиться на разных высотах и пересчитывать длину линии с учетом этого
не нужно!

Определение расстояний и превышений по электронной карте.
Большинство электронных карт имеют инструменты для измерения расстояний по прямой или по дорогам специальным функционалом, например, построением маршрута. При построении маршрута большинство электронных карт (например, Яндекс-карты) учитывают все изгибы дороги, но не пересчитывают расстояния с учетом перепада высот (к примеру, перейти через ущелье по подвесному мосту, или по прямой траектории, но без моста, спустившись вниз и затем поднявшись на другой берег - это разные расстояния). А, например, приложение Maps.me при переходе в режим пешеходной или велонавигации просчитывает расстояния с учётом перепада высот и отображает превышения.
Задачи из ОГЭ, ЕГЭ и школьной программы по географии и математике на масштаб, построение профиля и вычисление расстояний

Задачи из экзаменов по географии

Задача 1.
Определите по карте расстояние на местности по прямой от родника до дома лесника. Полученный результат округлите до десятков метров. Ответ запишите в виде числа.
(демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии;
в демоверсии ОГЭ задание аналогично)

Решение:
Найдем указанные объекты и измерим расстояние между ними (красный пунктир). На распечатке в оригинальном размере при измерении линейкой это расстояние 27 мм (2 см 7 мм).
Через пропорцию найдем соответствующее расстояние на местности:
1 см = 100 м
2,7 см = х м
х = (2,7 см * 100 м) / 1 см = 270 м.
(округлять не пришлось, но если бы получили 273м или 267 м, то округляем, согласно условию задачи до десятков метров - 270 м).
Ответ согласно условию задачи записываем без размерных единиц.
Ответ: 270


Задача 2.

С корабля, находящегося в точке с координатами 13° с.ш. 73° з.д., поступило радиосообщение о неисправности двигателя. Какое расстояние (в км) до неисправного судна пройдёт ремонтный корабль из порта Риоача (11° с.ш. 73° з.д.), если известно, что корабль будет идти строго по меридиану, а неисправное судно останется в той же точке, откуда было передано сообщение? Запишите решение задачи. Ответ округлите до целого числа.
(демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии)

Решение:
Согласно условию задачи корабль будет двигаться строго по меридиану 73° з.д., и пройдет путь с 11° с.ш. до 13° с.ш., т.е. расстояние, соответствующее 2° длины меридиана.
Длина 1° любого меридиана примерно 111 км

(критерии оценки ФИПИ позволяют использовать длину дуги 1° меридиана от 111,0 до 111,7 км, рекомендуется брать значение 111 км)
Необходимо записать в решение подсчёт:
(13 - 11) * 111 км = 222 км
(округлять не пришлось, но если бы получили 222,2 км (взяв за длину 1° 111,1 км), то согласно условию задачи нужно округлить до целого - 222 км)
Ответ: 222 км


Задача 3.
Постройте профиль рельефа местности по линии А – В. Для этого перенесите основу для построения профиля на бланк ответов, используя горизонтальный масштаб в 1 см 50 м и вертикальный масштаб в 1 см 5 м.
Укажите на профиле знаком «Х» положение родника.
(демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии, в демоверсии ОГЭ задача проще - вместо построения предложено выбрать правильный профиль из вариантов ответов)

Решение:
1) Сделаем построения на рисунке из условия
1) Соединим т. А и т. B и измерим длину отрезка.
В распечатке длина составляет 40 мм.
Промерим расстояния относительно точки А в мм, где отрезок пересекает горизонтали, в этих точках нам известны точные высоты - значения этих горизонталей.

2) Построим в бланке ответов заготовку для профиля с высотными положениями т. А и т. B и вертикальной шкалой по образцу, приведенному в задании, соблюдая масштаб вертикальной оси в 1 см 5 м. Т.к. горизонтальный масштаб профиля по условию - в 1 см 50 м (в 2 раза крупнее, чем карты), то длина построенного профиля 40 мм * 2 = 80 мм, все значения, где линия AB пересекает горизонтали и родник также удваиваем и наносим на горизонтальную шкалу и проводим асимптоты до соответствующих высот, по которым строится профиль.
Крестиком отмечаем родник.

Задачи из экзаменов и школьной программы по математике

Задача 1.
Масштаб карты 1:200 000. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 2,5 см?

Решение:
Масштаб 1:200 000,
т.е. в 1 см 200 000 см
или в 1 см 2 км
Составим пропорцию:
1 см = 2 км
2,5 см = x км
x = (2,5 см * 2 км) / 1 см
x = 5 (км)
Ответ: 5 км.


Задача 2.
Отрезку на карте, длина которого 2,4 см, соответствует расстояние на местности в 96 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте между ними 15 см?

Решение:
Составим пропорцию:
2,4 см = 96 км
15 см = x км
x = (15 см * 96 км) / 2,4 см
x = 600 (км)
Ответ: 600 км.


Задача 3.
Расстояние на местности в 75 км изображено на карте отрезком 1,5 см. Определите масштаб карты (именованный и численный).

Решение:
Составим пропорцию:
1,5 см = 75 км
1 см = x км
x = (1 см * 75 км) / 1,5 см
x = 50 (км)
следовательно в 1 см 50 км
или в 1 см 5 000 000 см,
т.е. 1:5000000
Ответ: в 1 см 50 км или 1:5000000.


Задача 4.
Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1:50000?

Решение:
4,5 км = 4500 м = 450 000 см
Составим пропорцию:
1 см = 50000 см
x см = 450000 см
x = (450000 см * 1 см) / 50000 см
x = 9 (см)
Ответ: 9 см.


Задача 5.
Длина железной дороги Москва - Петербург приближенно равна 650 км. Сколько сантиметров займет изображающий ее отрезок в масштабе 1:10 000 000?

Решение:
Масштаб 1:10000000
т.е. 1 см 10000000 см,
или в 1 см 100 км
Составим пропорцию:
1 см = 100 км
x см = 650 км
x = (650 км * 1 см) / 100 км
x = 6,5 (см)
Ответ: 6,5 см.


Задача 6.
Длина реки на карте в масштабе 1:50000, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой реки на другой карте в масштабе 1:200000?

Решение:
1) Найдем длину реки на местности по карте масштаба 1:50000:
1 см = 50000 см
7,2 см = x см
из пропорции x = 360000 (см) - длина реки на местности
2) Найдем длину реки на карте 1:200000:
1 см = 200000 см
x см = 360000 см
из пропорции x = 1,8 (см) - длина реки на второй карте

Решение коротким способом:
Карта 1:200000 (в 1 см 2 км) мельче карты 1:50000 (в 1 см 500м) в 4 раза (200000/50000 = 4). Следовательно длина реки на второй карте в 4 раза короче: 7,2 см / 4 = 1,8 см.
Ответ: 1,8 см.
Geostudy.ru - география и географические науки
Поделитесь ссылкой: